用字母表示数教学设计动画版
时间:2025-12-10 赵老师教案网用字母表示数教学设计动画版。
作为一名勤奋的人民教师，编写教学设计是我们提升专业水平的重要途径。规范的教学设计不仅能促进我们的成长，还能使教学工作更加科学化。以下是小编整理的一版数教学设计的动画示例，希望能为大家提供帮助。
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总体说明:
完全平方公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结．同时，完全平方公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过完全平方公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处．而且完全平方公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算、解一元二次方程以及二次函数的恒等变形的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的作用．因此学好完全平方公式对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．
本节是北师大版七年级数学下册第一章《整式的运算》的第8小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历探索与推导完全平方公式的过程，培养学生的符号感与推理能力，让学生进一步体会数形结合的思想在数学中的作用．
一、学生学情分析
学生的技能基础：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础．
学生活动经验基础：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力．
二、教学目标
知识与技能：
（1）让学生会推导完全平方公式，并能进行简单的应用．
（2）了解完全平方公式的几何背景．
数学能力：
（1）由学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力．
（2）发展学生的数形结合的数学思想．
情感与态度：
将学生头脑中的前概念暴露出来进行分析，避免形成教学上的“相异构想”．
三、教学重难点
教学重点：
1、完全平方公式的推导；
2、完全平方公式的应用；
教学难点：
1、消除学生头脑中的前概念，避免形成“相异构想”；
2、完全平方公式结构的认知及正确应用．
四、教学设计分析
本节课设计了十一个教学环节：学生练习、暴露问题——验证——推广到一般情况，形成公式——数形结合——进一步拓广——总结口诀——公式应用——学生反馈——学生PK——学生反思——巩固练习．
第一环节：学生练习、暴露问题
活动内容：计算：（a+2）2
设想学生的做法有以下几种可能：
①（a+2）2=a2+22
②（a+2）2=a2+2a+22
③正确做法；
针对这几种结果都将a=1代入计算，得出①②都是错误的，但③的做法是否一定正确呢？怎么验证？
活动目的：在很多学生的头脑中，认为两数和的'完全平方与两数的平方和等同，即：
（a+2）2=a2+22，如果不将这种定式思维x，就很难建立起一个正确的概念；这一环节的目的就是让学生的这种错误或其它错误充分暴露出来，并让学生充分认识到自己原有的定式思维是错误的，为下一步构建新的思维模式埋下伏笔．
第二环节：验证（a+2）2=a2–4a+22
活动内容：（a+2）2=（a+2）（a+2）=a2+2a+2a+22
活动目的：在前一环节已经打破了学生的原有的思维定式的基础上，给学生建立正确的思维方法，避免形成“相异构想”．
第三环节：推广到一般情况，形成公式
活动内容：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
活动目的：让学生经历从特殊到一般的探究过程，体验到发现的快乐．
第四环节：数形结合
活动内容：设问：在多项式的乘法中，很多公式都都可以用几何图形进行解释，那么完全平方公式怎样用几何图形解释呢？
展示动画，用几何图形诠释完全平方公式的几何意义．
学生思考：还有没有其它的方法来诠释完全平方公式？（课后思考）
活动目的：让学生进一步认识到数与形都不是孤立存在的，数与形是可以有机地结合在一起，从而发展学生的数形结合的数学思想．
第五环节：进一步拓广
活动内容：推导两数差的完全平方公式：（a–b）2=a2–2ab+b2
方法1：（a–b）2=（a–b）（a–b）=a2–ab–ab+b2=a2–2ab+b2
方法2：（a–b）2=[a+(–b)]2=a2+2a(–b)+(–b)2=a2–2ab+b2
活动目的：让学生经历由两数和的完全平方公式拓广到两数差的完全平方公式的过程，体会到符号差异带来的结果差异，由第二种推导方法体会到两数差的完全平方公式是两数和的完全平方公式的应用．
第六环节：总结口诀、认识特征
活动内容：比较两个公式的共同点与不同点：（a+b）2=a2+2ab+b2
（a–b）2=a2–2ab+b2
特征：①左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个符号不同；右边都是二次三项式，其中第一、三项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的两倍，两者也仅一个符号不同；
②公式中的a、b可以是任意一个代数式（数、字母、单项式、多项式）
口诀：首平方，尾平方，首尾相乘的两倍在中央．
活动目的：认识完全平方公式的特征，总结出完全平方公式的口诀，便于学生理解与记忆，避免学生在应用该公式中出现错误．
第七环节：公式应用
活动内容：例：计算：①（2x–3）2；②（4x+）2
解：①（2x–3）2=（2x）2–2(2x)3+32=4x2–12x+9
②（4x+）2=(4x)2+2(4x)()+()2=16x2+2xy+
活动目的：在前几个环节中，学生对完全平方公式已经有了感性认识，通过本环节的讲解以及下一环节的练习，使学生逐步经历认识——模仿——再认识．从而上升到理性认识的阶段．
第八环节：随堂练习
活动内容：计算：①；②；③（n+1）2–n2
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的理解是否到位，完全平方公式的应用是否得当，以便教师能及时地进行查缺补漏．
第九环节：学生PK
活动内容：每个学生各出五道完全平方公式的计算题给自己的同桌解答，比一比谁的准确性率高，速度快．
活动目的：活跃课堂气氛，激起学生的好胜心，进一步巩固学生对完全平方公式的理解与应用．
第十环节：学生反思
活动内容：通过今天这堂课的学习，你有哪些收获？
收获1：认识了完全平方公式，并能简单应用；
收获2：了解了两数和与两数差的完全平方公式之间的差异；
收获3：感受到数形结合的数学思想在数学中的作用．
活动目的：通过对一堂课的归纳与总结，巩固学生对完全平方公式的认识，体会数学思想的精妙．
第十一环节：布置作业：
课本P43习题1.13
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教学目标
经历探索完全平方公式的过程，会推导完全平方公式；
能利用完全平方公式进行简单的运算。
在探索完全平方公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力，体会数学语言的严谨与简洁。
培养学生在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的见解。
重点难点
重点
完全平方公式的推导和运用
难点
完全平方公式的结构特点和灵活运用。
教学过程
一、复习导入
1.说出平方差公式的内容及作用。
2.我们知道，当相乘的两个多项式有一项相同，另一项相反时，可以用平方差公式直接得到结果，大大简化了运算过程，那么当相乘的两个多项式两项都相同时，是不是也有一个公式来简化运算过程呢？这节课我们就来探索一个新的乘法公式：完全平方公式。
二、新课讲解
探究新知
计算下列各式，你能发现它们的结果有什么规律吗？
鼓励学生发表各自的看法，只要言之成理，只要是自己动脑筋发现的，都要给予肯定，以此调动学生参与的热情。
综合学生的观察，得到：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的两倍。
2.这个结论可以推广到任意两个数的计算上去吗？
我们可以利用多项式乘法法则来推导一下：（师生共同完成）
3.两数差的平方等于什么呢？请同学们计算。
学生一般会这样计算：
及时引导学生用语言叙述这个结果：
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的两倍。
以上两个公式都叫做完全平方公式，它们之间有联系吗？启发学生把“-b”整个的看成一个数，用两数和的平方公式来计算，结果怎么样？结果发现两数差的平方可以用两数和的平方公式推导出来，也就是两数差的平方公式可以归属于两数和的平方公式。但为了使用方便，通常我们还是以两个公式来呈现。
完全平方公式：；
用语言叙述为：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍。
完全平方公式的理解
1.比较两数和、两数差的平方公式的异同。
学生讨论，发表各自的看法。
2.比较完全平方公式与平方差公式的不同之处。
学生发表看法后，教师特别指出完全平方公式计算的结果有三项，不要误以为是两项，比方；，是错误的。我们用图形的面积来加深一下对这个结果的`理解：如图，显然整个正方形的面积由四部分组成。
三、典例剖析
例1运用完全平方公式计算：
（3）；（4）;
师生共同解答，教师板书。初学运用时要写清楚运用公式的步骤，熟记公式。
例2运用完全平方公式计算：
学生解答，进一步体会两个完全平方公式的异同。
四、课堂练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应怎样改正？
2.运用完全平方公式计算：
（1）；（2）；（3）;
3.运用完全平方公式计算：
教师要注意发现学生的错误，组织学生对错误进行分析，对于第1题可以引导学生分析导致错误的原因。
五、小结
师生共同回顾完全平方公式的结构特点，体会公式的作用，交流计算的经验。教师对课堂上学生掌握不够牢固的知识进行辨析、强调与补充，学生也可以谈一谈个人的学习感受。
六、布置作业
P50第2（1）、（2），4题
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公式
教学目标
1．了解公式的意义，使学生能用公式解决简单的实际问题；
2．初步培养学生观察、分析及概括的能力；
3．通过本节课的教学，使学生初步了解公式来源于实践又反作用于实践。
教学建议
一、教学重点、难点
重点：通过具体例子了解公式、应用公式．
难点：从实际问题中发现数量之间的关系并抽象为具体的公式，要注意从中反应出来的归纳的思想方法。
二、重点、难点分析
人们从一些实际问题中抽象出许多常用的、基本的数量关系，往往写成公式，以便应用。如本课中梯形、圆的面积公式。应用这些公式时，首先要弄清楚公式中的字母所表示的意义，以及这些字母之间的数量关系，然后就可以利用公式由已知数求出所需的未知数。具体计算时，就是求代数式的值了。有的公式，可以借助运算推导出来；有的公式，则可以通过实验，从得到的反映数量关系的一些数据（如数据表）出发，用数学方法归纳出来。用这些抽象出的具有一般性的公式解决一些问题，会给我们认识和改造世界带来很多方便。
三、知识结构
本节一开始首先概述了一些常见的`公式，接着三道例题循序渐进的讲解了公式的直接应用、公式的先推导后应用以及通过观察归纳推导公式解决一些实际问题。整节内容渗透了由一般到特殊、再由特殊到一般的辨证思想。
四、教法建议
1．对于给定的可以直接应用的公式，首先在给出具体例子的前提下，教师创设情境，引导学生清晰地认识公式中每一个字母、数字的意义，以及这些数量之间的对应关系，在具体例子的基础上，使学生参与挖倔其中蕴涵的思想，明确公式的应用具有普遍性，达到对公式的灵活应用。
2．在教学过程中，应使学生认识有时问题的解决并没有现成的公式可套，这就需要学生自己尝试探求数量之间的关系，在已有公式的基础上，通过分析和具体运算推导新公式。
3．在解决实际问题时，学生应观察哪些量是不变的，哪些量是变化的，明确数量之间的对应变化规律，依据规律列出公式，再根据公式进一步地解决问题。这种从特殊到一般、再从一般到特殊认识过程，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学设计示例
公式
一、教学目标
（一）知识教学点
1．使学生能利用公式解决简单的实际问题．
2．使学生理解公式与代数式的关系．
（二）能力训练点
1．利用数学公式解决实际问题的能力．
2．利用已知的公式推导新公式的能力．
（三）德育渗透点
数学来源于生产实践，又反过来服务于生产实践．
（四）美育渗透点
数学公式是用简洁的数学形式来阐明自然规定，解决实际问题，形成了色彩斑斓的多种数学方法，从而使学生感受到数学公式的简洁美．
二、学法引导
1．数学方法：引导发现法，以复习提问小学里学过的公式为基础、突破难点
2．学生学法：观察→分析→推导→计算
三、重点、难点、疑点及解决办法
1．重点：利用旧公式推导出新的图形的计算公式．
2．难点：同重点．
3．疑点：把要求的图形如何分解成已经熟悉的图形的和或差．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪，自制胶片。
六、师生互动活动设计
教者投影显示推导梯形面积计算公式的图形，学生思考，师生共同完成例1解答；教者启发学生求图形的面积，师生总结求图形面积的公式．
七、教学步骤
（一）创设情景，复习引入
师：同学们已经知道，代数的一个重要特点就是用字母表示数，用字母表示数有很多应用，公式就是其中之一，我们在小学里学过许多公式，请大家回忆一下，我们已经学过哪些公式，教法说明，让学生一开始就参与课堂教学，使学生在后面利用公式计算感到不生疏．
在学生说出几个公式后，师提出本节课我们应在小学学习的基础上，研究如何运用公式解决实际问题．
板书：公式
师：小学里学过哪些面积公式？
板书：S=ah
（出示投影1）。解释三角形，梯形面积公式
【教法说明】让学生感知用割补法求图形的面积。
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新学期是我们六年级的关键一年。在这一年里，我想取得进步。六年级第一学期的计划如下:
首先上课要认真听讲，不要小动作，不要和同学交头接耳，努力消化老师上课说的所有知识；对于难题，不要羞于提问，先举手，后发言，虚心向老师和同学请教。
其次，要认真完成老师布置的所有作业，一丝不苟。课堂作业在课堂上完成；作业和课后作业要按时独立完成。
第三，要做好语文课的准备工作。对于预习的课文，至少朗读三遍。对于不认识的单词、短语、成语，首先要，认清楚，理解意思；学会把课文分段，用最短的语言写出每一段的大意，然后总结课文的中心思想；对于每篇课文的课后题，尽量先做；对于课文和课后题，如果不懂或者不会做，要先写在书上，第二天上课带着问题听讲座，上课的时候向老师请教。
四要尊师重教，团结学生，热爱劳动，热爱班级，自觉遵守学校和班级的`规章制度。新学期，保证不跟同学打架。热爱体育锻炼，确保你有一个强壮的身体。
第五，要利用星期天和节假日继续参加社会培训，阅读课外书，丰富知识。
总之，在新的学期里，我会更加努力，在每一科都取得好成绩，成为一个各方面都优秀的好学生。
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时间过的真快，如今，我尽尽管还是一名小学生，但在大家的说法中，其实已经算是一名“准初中生”了！结束了六年级上学期的学习，面临小学生活的结束又近了一步！这样的情况，让我感到有一些不安，又有一些期待。过去的我们一直都被称作小孩子，如今，终于能摆脱小学生的名号，我又怎么能不激动呢？但眼看着小学的即将毕业，我也从老师的教导中认识到，我们不能仅将目光放在未来，眼见最重要的，就是为这六年的小学生活画上一个圆满的句号！
如今，寒假到来了。很快，我们就要在最熟悉的学校中迎来毕业的考试。为此，我在这里对自己进行最后的寒假计划，希望在小学的最后一个寒假里，我能积极学习，取得更好的成绩：
一、认清目标，仔细分析
寒假是比较短的假期，并且还有过年这一重大的节日以及众多的寒假作业，照这日子一算，其实我的时间还是蛮紧迫的。但也正是为了好好利用这段时间，我要在此对自己尽心严格的分析：
假期时间：减去春节后剩余xx天；
目标任务：寒假作业、各科试卷，以及自我的复习和对下学期的预习；
自我分析：就我现在的情况来说，数学和英语是最大的难题，尤其是数学方面，从头到脚都需要好好的巩固一遍。此外，英语也要维持好单词的累积，将落下的进度追赶上来；
完成方式：合理分配完成时间，为自己定下每天的学习任务，积极的完成学习目标。
二、学习计划安排
面对自身的学习任务，我将每天的时间都进行了计划和分配如下：
早晨：阅读和单词。目标为背诵一篇课文和一定量的单词默写。单词数量不限，但要随着日期逐步增加。
上午：开始完成逐步完成数学练习，并从中分析自身不懂的`地方。可以练习同学或活用网络来解决。但要自觉管理自己禁止网络游戏。
午休：听一些音乐，出去运动或是午睡一会，记得给自己定下闹钟，以免休息过头。
下午：英语和语文的学习时间合理的安排每天的任务量，并在晚饭前完成。
晚上：结束了一天的学习，自然就要完成自己的作业，相信经过的学习和巩固，作业完成起来也会更加的简单。
以上便是我的学习计划，在预习时也会用同样的方式来完成！在这个寒假里，我一定会抓紧没一分钟的时间，积极的完善自己，让自己在学习上更加出色！
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第一轮：分类进行整理复习
（一）数与代数
包括数的认识、数的运算、式与方程、常见的量、比和比例、数学思考。
1、整数和小数部分：复习整、小数、分数和百分数的概念以及四则运算、分数的基本性质和数学问题。
2、简易方程：复习用字母表示数，解简易方程，列方程解决问题。
3、量的计量：复习计量单位、掌握各单位名称之间的进率，进行名数改写。
4、比和比例：复习比和比例的意义和基本性质、化简比、求比值；复习正反比例的意义和判断，会用比和比例的知识解答生活问题。
（二）空间与图形
包括图形的认识与测量、图形与变换、图形与位置。
1、几何初步知识：复习平面图形的概念、特征以及图形之间的联系和区别。平面图形的周长和面积的计算、公式的推导，复习立体图形的概念、特征以及体积和表面积的计算。
2、实际操作：复习平移、旋转、对称、扩大和缩小等现象，能正确地根据所给数据画出图形。
（三）统计与可能性
简单的统计：复习统计表、统计图、求平均数
（四）综合应用
有趣的平衡、邮票中的数学问题。
第二轮：模拟试卷进行过关，查漏补缺。
1、通过复习让学生比较系统的牢固的掌握基础知识，具有进行四则运算的能力，会使用学过的一些方法合理、灵活的进行计算，会解简易方程，养成检验的习惯。
2、通过复习让学生牢固地掌握所学单位之间的进率，进行名数的改写，并能简单的估计或应用。
3、通过复习让学生牢固掌握所学几何形体的特征，能正确的计算一些几何图形的周长、面积、和体积，巩固绘图、测量等技能。
4、通过复习使学生掌握所学的统计初步知识，能够看懂和绘制简单的.统计图表，能够计算平均数，能利用统计图表中的数据和平均数进行分析比较。
5、通过复习使学生牢固的掌握所学的常见的数量关系和应用题的解答方法，能够比较灵活的运用所学知识解答应用题和生活中一些简单的实际问题。
关键：在复习过程中，要引导学生主动的整理复习，目的是复习时做到有的放矢、查漏补缺，尽量使每位学生在复习时得到最大程度的提高。
复习的具体措施
1、首先根据本班学生实际情况，注重基础知识掌握的同时，培养学生综合运用知识的能力。
2、复习课上提倡学生主动的复习模式。最大限度的节省复习时间，提高复习效益。采用以下的步骤来复习：
（1）自行复习整理、自我质疑；
（2）小组讨论、合作攻关；
（3）检测反馈、了解学情；
（4）查漏补缺；
（5）师生互动、相互质疑。
3、做好提优补差工作。组织课堂复习、安排课堂练习都要照顾到学生的差异，特别是后进生的辅导，除了教师辅导以外，借助学习小组在学生之间建立帮扶关系，让学生辅导学生。让辅导小老师督促他们每天的作业完成情况，基础知识的过关情况，公式的过关情况。进行一次总结，评比出优秀辅导小老师和进步生。
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教学内容：教材P50～51及P48～49练习十一第6、7、9、10、11题。
教学目标：
知识与技能：使学生通过猜想、实验、验证的过程，巩固“组合”的有关知识，探讨事件发生的可能性大小。
过程与方法：通过活动，使学生初步获得一些数学活动的经验，经历“猜想、实验、验证”的过程，引导学生在活动中发现问题，分析问题，体会到数学在生活中的应用。
情感、态度与价值观：结合学习内容，对学生进行思想教育，使学生体会到生活中处处有数学，增强学好数学的信心和应用数学的意识。
教学重点：探索两个骰子点数之和在5、6、7、8、9居多的原理。
教学难点：让学生在“玩”中获得数学知识，在学中感受数学的趣味。
教学方法：创设情境；小组合作、实践操作。
教学准备：多媒体、骰子。
教学过程
一、创设情境，引入新课
出示骰子，师问：同学们见过骰子吗？你们在哪见过？它和数学有什么联系？（学生可能回答：在打麻将时、玩具上见过；骰子上有6个数字。）
学生回答后，师引导：这节课我们就来掷一掷骰子，通过游戏一起探究骰子里面还有哪些数学知识。
二、师生互动，探究新知
1．思考：如果同时掷出两颗骰子，它们出现的点数之和会有哪一些7
根据学生的回答板书：2、3、4、5……12。
追问：可能有1和13吗？为什么？
学生自主思考，通过组合知识得出结论。（不可能，因为两个数的和最小是2最大是12。）
2．游戏探究。
规则：把这11种结果分成两组：A组：1、2、3、4、10、11，B组：5、6、7、8、9。一共掷20次，总次数多者为胜。
(l)选择一组结果与教师进行比赛。
(2)两个小组为一个单位比赛，自由选择结果组别，4人轮流掷骰子，由组长记录试验数据，最后比较实验数据，分出胜负。
学生操作时，组员轮流掷骰子，组长负责填写数据。掷骰子时要注意先在手中晃几下再投入杯子中。
3．汇报比赛数据和结论，师汇总并引导学生比较总结。
比较发现：两数和为5～9出现的次数较多，说明B组获胜的可能性大。
引导思考：为什么会这样？
引导学生通过观察两数和的统计表，并通过举例说明：如和是6的.情况：1+5，2+4，3+3三种情况；和是2只有1+1这一种情况。
比较总结：和是7出现的次数最多，和是5、6、8、9出现的次数比较多，和是2、3、4、10、11、12出现的次数比较少。
三、指导练习
1．教材第47页练习十一第9题。教师引导学生提出猜想，再组织全体不生参与演示，完成表格，验证猜想。
2．完成教材第49页练习十一第10题。
组织学生理解题目信息，让学生独立思考作答，小组订正。
3．完成教材第49页练习十一第11题。
(1)引导学生理解题意。小组内合作完成，集体订正。
(2)组织学生设计卡片，鼓励方案多样化。
四、拓展延伸
1．根据客观事实判断事件发生的确定性和不确定性。
出示：明天的篮球比赛，我们班一定会赢。这种说法正确吗？
思路引导：篮球比赛的结果有两种可能：一种是我们班赢，另一种是我们班输。也就是说，我们班可能会赢。这个结果不是按照我们班同学的意愿而实现的。
规范答案：这种说法不正确。明天的篮球比赛，我们班可能会赢。
教师小结：生活中事件发生的确定性和不确定性要根据客观事实进行判断，与个人的意愿无关。
2．根据图形区域大小判断可能性的大小
下面是百草园文具店的投资活动规则，看图想一想，抽到哪种奖品的可能性大？抽到哪种奖品的可能性小？
（满100元抽奖一次）
指针所在区域
奖品
红色区域一个文具盒
黄色区域一个笔记本
绿色区域一支铅笔
思路导引：区域越大，指针停在该区域的可能性就越大。从图中看出，绿色区域的面积最大，则指针停在绿色区域的可能性最大，所以抽到一支铅笔的可能性最大；红色区域的面积最小，指针停在红色区域的可能性最小，所以抽到一个文具盒的可能性最小。
规范解答：抽到一支铅笔的可能性最大，抽到一个文具盒的可能性最小。
教师小结：区域最大，指针停在该区域的可能性就越大；区域越小，指针停在该区域的可能性就越小。
3．小组合作完成教材第114页第5题。
五、全课小结。这节课你有哪些收获？
引导学生说一说事件的发生可能性是有大小的。
作业：教材第48页练习十一第6、7题。教材第117页第11、12题。
板书设计：掷一掷
A组：2、3、4、10、11、12 B组：5、6、7、8、9
（可能性小）（可能性大）
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【教学内容】小数乘小数
【教学目标】
1．使学生通过探究，理解并掌握小数乘小数的计算方法，并能正确进行计算，培养初步的迁移、推理、抽象、概括能力。
2．使学生在计算过程中，养成认真检查、勤于验算的好习惯，进一步体会数学知识间的内在联系，增强学好数学的自信心。
【重点，难点】重点；理解和掌握小数乘小数的计算法则。难点；确定积的小数点的计算法则。
【教学准备】；多媒体。
【教学过程】
一、导入
谈话：我们已经学习了小数乘整数，今天这节课我们将继续学习小数乘法。让我们一起回忆一下以前学过的知识。
用卡片出示口答题：
2.3×45 67×2.09 9.06×32
提问：下面各题的积中有几位小数？你是怎么知道的？
出示：小明房间和阳台的平面图。
提问：你能根据图中的数据求出哪些问题？
根据学生的回答整理出两个问题：
（1）小明房间的面积有多大？
（2）阳台的面积是多少平方米？
让学生选择其中一个问题列竖式解答，并各由一个学生进行板演。
要求：对照黑板上的竖式，说一说小数和整数相乘应该怎样计算？
二、自主探索
改变问题：如果把小明房间的宽度3米缩短为2．8米（在平面图上即时修改），你还能求出小明房间和阳台的面积各是多少吗？先估一估，再列式解答。
学生尝试练习，如果有困难的可以看书自学。
小组分享自学成果，组内达成共识。
全班交流：谁来说说3.6×2.8是怎样估算的？又是怎样用竖式计算的？
展示学生尝试的竖式并追问：把这两个小数都看成整数，相乘后怎样才能得到原来的积？
预设一：只要在积中点上两位小数就能得到原来的积。
预设二：只要把积除以100就可以了。
继续追问：为什么积是两位小数（积要除以100），你是怎样想的？
教师根据学生回答，板书：
继续交流：计算2.8×1.15时，在积里是怎样点小数点的？你能把自己的想法说一说吗？
教师根据学生的说理进行板书。（如学生有困难可适当进行引导性提问：两个因数看成整数后，等于把原来的两个因数分别乘多少？）
提问：在用竖式计算2.8×1.15时，你觉得还有哪些地方需要提醒大家的？（列竖式时把数位多的小数写在上面；点上小数点后，可以根据小数的性质划去小数末尾的0。）
提问：比较上面两题在计算时有什么相同的地方？又有什么不同的地方？（相同点：都是把小数看成整数，按整数乘法算出积的。不同点：第1题是一位小数和一位小数相乘，第2题是一位小数和两位小数相乘；第1题的`积是两位小数，第2题的积是三位小数。）
提问：通过刚才的尝试、交流，你现在能说说小数乘小数应该怎样进行计算？
小组交流汇报后，教师小结：小数乘小数，先按整数乘法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
三、巩固练习
1．完成“做一做”第1题。
先让学生独立完成，再指名说说是怎样确定积的小数位数的。
2．完成“做一做”第2题。
请三个学生进行板演，其余学生自主练习。反馈时重点说说后面两题要先点小数点，再划去小数末尾的0。
3．完成下题。
一种西服面料，每米售价58.5元。买这样的面料5.2米，应付多少元？（先估计得数，再计算）
集体校对后，追问：因数中一共有两位小数，为什么积中只有一位小数？
四、全课总结
谈话：通过这节课的学习，你有哪些新的收获？你觉得小数乘小数与前面学习的小数乘整数有什么联系？
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1、教学目标
1.1、使学生在具体情境中认识列、行的含义，知道确定第几列、第几行的规则，初步理解数对的含义，会用数对表示具体情境中物体的位置；
1.2、使学生经历由具体的座位图抽象成用列、行表示的平面图的过程，提高抽象思维能力，发展空间观念；
1.3、使学生体验数学与生活的密切联系，进一步增强用数学的眼光观察生活的意识。
2、重点难点
教学重点：初步理解并掌握数对的含义
教学难点：能正确地用数对表示物体的位置
3、教学过程
活动1【讲授】位置
一、创设情境，引入课题。
1.先出示一排座位，让学生描述张亮的位置。
2.出示例1的情境图，再次让学生描述张亮的位置.
3.引入课题：怎样才能简洁、准确地描述小军的位置呢？今天这节课我们就一起来进一步学习确定位置。
[设计意图：首先让学生描述一排学生中的一个位置，再让学生在平面图中用第几排第几个来描述位置。这样设计帮助学生找到了新旧知识的连接点。然后引出：如何才能准确、简明地描述位置呢？由此为切入点，引入课题。]
二、探索新知：
1.学生自主学习：(看第19页的例1)
自学提纲：
(1)书上是怎样表示张亮的位置的？
(2)什么叫做列？什么叫做行？
(3)一般情况下，如何确定第几列？如何确定第几行？
2.学生汇报交流。
3.老师小结。(利用课件讲解)
[设计意图：先通过学生自学课本，完成学案，再让学生交流汇报，最后老师借助于多媒体课件小结，形象直观地帮助学生理解规则，掌握方法]
4.用数对表示自己的位置。
5.游戏：猜猜他是谁？(老师说数对，学生站起来)
[设计意图：用数对表示自己的位置，巩固了新知。猜一猜的游戏，既进一步巩固了对列、行和数对的含义的认识，又活跃了课堂气氛。]
6.教学例2，在格子图上表示“位置”
( 由学生尝试完成，老师巡视)
[设计意图：由座位图，抽象成格子图，一步比一步清晰、一步比一步简洁，使学生充分经历知识形成的过程，很好的渗透了“坐标”这一较难理解的数学知识。]
7.小组合作探究：(首先由学生独立思考，再小组合作交流，再派代表汇报)
如果A点用数对表示为(1，5)，B点用数对表示为(1，1)，C点用数对表示为(3，1)。，那么三角形ABC是( )三角形。
[ 设计意图：让学生了解同一列与同一行的位置关系。培养学生的空间想象力。]
三、联系实际，深化理解
1.用数对表示“国际象棋上棋子的位置”
[设计意图：国际象棋棋子图上的“列”用字母表示，让学生明白：列和行还可用字母表示，为今后学习坐标作好了铺垫。]
2.介绍地球仪上位置的确定。
[设计意图：介绍地球仪上的经纬线确定位置的知识，拓宽了学生的知识视野，有利于学生充分体验数对知识的.广泛应用。感受数学与生活的密切联系。]
四、巩固练习：
1.判断：
这是某班几个同学写出来的几个数对，谁写对了？
A(5、9) B(X，Y) C 4，6 D(a b) e(b，8)
2.议一议：有同学说(4，3)与(3，4)这两个数对表示的是同一个同学的位置。你认为呢？
3.算一算：五一班的同学进行队列表演，每组人数相等，小亮站在最后一组的最后一个，用数对表示是(8，6)。五一班有多少人参加了队列表演？
4.说一说： 用数对表示位置，要注意什么？同学们可能会出现什么错误？
5.记一记：
标识位置有绝招，一组数据把位标。先列后行不能调。
一列一行一括号，逗号分隔标明了。
6.送给大家一句话：(数学是打开科学大门的钥匙)
6 丰 科 伟 绩 是 荡 不
5 桂 钥 和 衷 学 济 核
4 雄 匙 英 发 畅 通 相
3 二 学 开 纪 的 上 光
2 附 门 水 火 打 情 近
1 低 消 大 淡 雅 数 字
1 2 3 4 5 6 7
师：这句话隐藏在这些文字中，请你根据数对找出来。
(6，1) (5，5) (5，6) (5，2) (3，3)
(2，6) (2，3) (3，1) (2，2) (5，3)
(2，4)
[设计意图：练习的形式多样，又富有层次，有效地巩固了用数对确定位置这一新知识。“送给大家一句话”对学生进行了思想教育，从而认识到学习数学的重要性。]
8.作业：第21页第1至3题
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《义务教育课程标准（20xx）》中指出：设计丰富多样的习题，满足巩固、复习、应用、拓展的学习需要；满足不同学生的学习需要；满足不同学习阶段的学习需要；满足不同完成作业方式的需要，如综合与实践的习题可以包括查阅资料、校外调查、自主探索等。
教师的课堂教学虽然很重要，但是对于作业的设计也是非常重要的。教师合理的设计作业，不仅可以让学生及时巩固所学知识，还能提高他们的数学综合能力。在小学数学教学中，教师在进行课后作业设计时一定要融入更多的趣味和实践性内容。这样才能提高小学生的参与度，达到训练的真正目的。本文根据小学数学的实例来进行作业设计，并通过高质量的作业设计来提升小学数学的综合教学效果，也让小学生的综合能力得到锻炼。
下面我就谈谈对作业设计的几点思考。
一、设计生活调查实践的作业。
作业设计的方法和思路很多，我们教师要根据学生的知识特点和认知有针对性的开展作业设计。我们教师应设计多样化的作业训练，来引导学生在生活中运用所学知识，并对知识进行吸收和消化。教师在设计作业时可以逐步提高作业难度，先易后难。
如：在小学二年级的数学中，我们所学习的“千克和“克”，这些重量的计量单位，教师可以让学生学习称物品，厨房的鸡蛋、盐、馒头等它们的重量，还可以称一些大件物品的重量。还可以到超市进行调查实践，自己选种了某种商品，可以先估算他们的重量，在估算时也需要加上重量单位，有的是用千克来表示，有的是用克来表示。最后再让售货员称，根据实际重量来进一步理解千克和克的运用。一些大件物品、重的一般都用千克表示，一些小的商品、轻的都用克来表示。也可以跟自己的估算进行对比，找出差距。只有经过亲自调查实践才能真正的理解知识，实践是检验真理的一切标准。
二、设计动手探究的作业。
教师还可以给学生安排一些动手探究的作用类型，既锻炼学生的思维能力、探究能力，还能锻炼他们解决问题的'能力。在学习了轴对称图形时，很多学生在遇到这一类型的题目时，经常会出错。有时候单纯的讲解概念很多学生似懂非懂，但是教师要设计一些动手探究的作业，学生就会明白很多。
如：教师可以让学生课下自己动手剪出一张长方形的纸、一张正方形的纸、画出一张圆形的图形，让学生找出对称轴并以此为中心进行对折，如果上下、左右能够完全重合就是轴对称图形。学生通过自己动手操作，发现这三种图形都能完全重合。还可以让学生找一找生活中哪些图形不是轴对称图形？例如：一条小鱼的图片、一个台灯的图片、一个铅笔的图片等，让学生思考一下是不是轴对称图形，经过学生思考和分析得出结论这几个都不是轴对称图形。通过这样的作业设计让学生不仅轻松掌握了知识，还推动了教学效果。
三、设计小组合作的作业。
教师在设计作业时要提升作业的难度。教师可以让学生以小组为单位完成学习任务。学生可以设计多样化的问题让学生进行讨论和探究，锻炼他们的逻辑思维能力；另一方面，学生在交流的过程中遇到不同的想法时可以互换思维，学生的思维也越来越灵敏，能够从多方面考虑问题。教师可以给学生布置一些合作探究的实践性作业，让小组合作发挥应有的作用。
如：在二年级的数学课本中，他们学习了统计知识，教师可以给他们布置一些统计的知识。可以根据家庭住址给学生分组，要求他们放学后可以在一起进行合作，每个小组选出组长，组长负责并给组员分配任务。例如：可以让小组统计一个小时内校门口有多少量小轿车经过、多少量电动车经过、多少量自行车经过、多少量三轮车经过，每个组员统计各自的数据，组长负责制作表格和统计数据，最后由组长汇报和总结。学生通过小组合作的方式，对统计知识进行了掌握。在学生完成了统计作业以后，还可以让学生自己提出问题，通过统计哪种车辆出现的最多？电动车和自行车一共有多少车辆？这两者比小轿车多多少？等，可以让学生自问自答。这样通过统计数据、提出问题、生成报告，这样的实践不仅让学生巩固了知识，还提高了他们的统计数据能力、分析能力和总结能力。也让他们的数学综合能力得以提高。最大限度的提高了教学效果。
有效的课后作业设计，不仅可以让数学教学有效开展，还能培养和锻炼学生的学习能力。我们要不断变革和创新作业设计的思路和方法，注重数学综合能力的培养。教多安排生活调查作业、实践探究作业以及小组合作的作业，这样让学生在理解课本理论知识的同时，能将所学知识运用到生活中，也能从生活中找出数学问题，达到活学活用的目的。这样的作业设计才能发挥真正的作用。
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20xx年x月，教育部印发了《义务教育数学课程标准（2022版）》（下面简称“新课标”），为确保新课标能系统推进、落地实施，多种形式的研修交流和培训开展得如火如荼，成都市戴美蓉名师工作室也在暑期安排了线上的培训学习。此次培训由全国名师工作室联盟和北京市中教市培教育研究院主办，请来史宁中教授和多位一线专家教师为我们解读新课标、示范如何让核心素养落地，培训结束我收获良多，以下几点小小的心得体会，与大家分享。
一、教育观念需要更新
新课标的一个主要变化就是从“四基”到“核心素养”，从传统的“双基”到“四基”到如今的“核心素养”，本质上是教育理念和课程目标在发生变化：过去的教育过于强调结果，而现在的教育开始强调过程，强调学生通过亲身经历相关教学活动的过程，积累基本的活动经验。教师可以传授知识，但经验需要学生积累，正如“纸上觉来终觉浅，绝知此事要躬行”。学生在积累经验的同时去思考、总结，教师再引导学生学会独立、自主地思考，正如史宁中教授说：“教师应当明白学生会不会想问题、做事情，不是老师教出来的，是学生悟出来的。”
我们的教育理念要从“以知识为本”转向“以人为本”，以发展学生数学学科核心素养为最终目标，让学生学会用数学的眼光观察世界，数学的思维思考世界，数学的语言表达世界。核心素养听起来高不可攀，但实际上，知识建构的过程本身就是在发展素养，因此我们需要思考的是怎么通过知识的学习来发展核心素养，真正让核心素养落地。
二、教学策略需要改进
教育观念的改变也注定我们需要改进教学方式与教学策略，新课标背景下，知识点的学习不仅仅是学习它本身，还要学习知识点与知识点间的区别和联系。譬如讲解“一元一次不等式的解”和“一元一次不等式的解集”这两个概念时，可通过具体的.例子给出两者概念，但这不能达到新课标的要求：让学生明白知识与知识之间的数学关系，为改进该教学，可以补充一张表格，用以区分两个概念的定义、特点和形式，让学生进一步明晰两者的区别与联系。
xx教授指出在实际教学时，我们仍需注意很多细节，避免形似而神不似。例如部分教师教学时看似讲了方法，但实际并不到位，要让核心素养落地，就得讲出方法体系的步骤，让学生积累具体的实施经验，有了实施经验和基本方法经验，才能积累学生的基本活动经验。在做同底数幂的运算时，可以在运算结果后增加一个问题：计算的依据，从关注学生的“算法”转向关注“算理”，让他明白其中的道理。潘教授还给出了“分段式反馈”和“开火车”等教学反馈方式，并阐明优缺点，让我不禁反思在教学中怎么更恰当地使用哪种反馈方式能进一步提高课堂效率。
“大单元教学”成了近期的热门词，但如何实操但我还不得要领，而何丽华老师以自己一节“三角形的章起始课”作为课例，展示如何在大单元视域下进行几何教学。由点出发，找准本节内容的核心点、易混点、转折点；贯穿线，为同学们提炼出今后几何图形学习的基本套路，形成三角形的整体认识，同时为今后的图形学习打下基础，体现数学知识的整体性、结构性及关联性。“大单元”强调的“大”是注重把同类研究对象、相似的研究内容整合在一起，形成具有思想一致性的学习单元，引导学生形成“研究对象在变，思想方法不变，研究套路不变”的切实体验，在整体的过程中更好地感悟数学思想方法、形成研究思路。
xx老师在讲述实践教学时谈到一个问题：课堂预设，我也收获颇丰。课堂预设没有错，但若预设过多，总会出现一些“意外”，例如教师在引入新课时，学生一语道破本节课要学习的公式、定理，打乱教师节奏；或是学生没有回答出教师预设的答案。如果我们忽视这些“意外”的价值，只顾追求与预设保持一致，便是在无视学生的主体地位，课堂的处理也不够完善。为了课堂教学中能使预设与生成达到和谐统一，生成精彩的课堂，朱老师提出四个策略供大家参考：
①尝试弹性预设，拓展自主空间；
②把握课堂契机，产生新生长点；
③发扬教学民主，做敏锐倾听者；
④增强自身文化底蕴，积累数学智慧。
三、学习评价需要重构
中共中央和国务院发布了《深化新时代教育评价改革总体方案》，其中指出“教育评价事关教育发展方向，有什么样的评价指挥棒，就有什么样的办学导向。”评价就是指挥棒，该文件还进一步指出“改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和机械刷题现象”，这几句话中所提到的问题就是我们目前考试中还存在的问题。因此，胡赵云老师从“基于能力素养设计命题蓝图”、“基于四能与素养命制试题”、“基础性试题的命制”、“禁止命制超标试题”四个方面为我们讲解如何依据课程标准命题，让评价指向核心素养评价，还配备了相关考题，一一阐述其中的不足之处，让我对中考的题目设置要求有了更深的认识。
通过这次培训，我对新课标有了更深刻的认识，专家们的讲座和课例让我受益匪浅，不单在理论方面上有了更深的理解，在实践方面也有了些许感悟。新课标的颁布意味着对教育和教育从业者都提出了更新、更高的要求，作为教育从业者的我们，更要做好充分准备，用新的教学理念构建更好的
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数学是什么呢？对数学的理解角度不同，就会有不同的回答。《全日制义务教育数学课程标准（修改稿）》对数学本质采用了描述性的定义。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，数学是人类文化的重要组成部分，从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型，是一个生动活泼的、主动地和富有个性的过程。《新课程标准》这种动态的数学观，一方面为深刻认识数学的本质提供了新的视角，它是对传统数学观的一种超越；另一方面，这些观点从不同的侧面反映了不同的数学观。如果把数学理解成一种科学语言，那教师就会注重数学语言的形成和师生间的平等对话和交流；如果把认为数学是一种工具，那么教学就会侧重于对学习的记忆和训练，或者将数学应用于解题和生活实际的问题中；如果是一种模型的数学观，就会注重数学模型的发生、抽象过程；如果认为数学是一种文化，那教学就会把数学纳入到广阔的社会文化中去，让学生理解数学的理性精神、创新内涵和思想方法。由此可见，不同的数学观，会折射出不同的教学思想和行为。我们需要怎样的数学观来指导我们的教学实践，我们如何建构这样的数学观呢？
一、动态、多元、发展的数学观
数学观是人们在做数学的过程中形成的对什么是数学问题以及数学的基本特征的根本看法和认识。社会建构主义承认人类知识、规则和约定对数学真理的确定起着关键性作用，它汲取了拟经验主义与可误主义的认识论，即数学知识和概念是发展变化的思想。社会建构主义的核心是数学知识的生成。关于数学本质的认识，皮亚杰指出，数学并非是关于物质对象的，而是关系到人类施加于物质对象之上的活动，即数学的根源不是对现实客体对象的分析综合，而是人类主体的基本实践活动。社会建构主义的数学观认识数学是一种活动，数学知识是被创造的。
从问题解决的角度来看的数学的本质。问题解决的数学观把数学看成是一个动态的，由问题推动而发展的学科。数学体现着人类发明与创造，它不是一个一成不变的成品，它的结果是开放的、可修正的，因而它必然处于不断发展变化之中。在解决问题的同时，更重要的是能提出和发现平常事物中的数学问题，发现问题更强调了主体的主动性的需求。
什么才是正确的数学观呢？有认将正确的数学观理解为：一种分析和理解的偏好、一种理解结构和结构关系的偏好。对于多元的数学观而言，应强调数学观的多种形式，也就是不能完全排斥工具主义和绝对主义的'数学观，他们也有其优点和对教学有利的一面，我们更多的是着眼于对教育教学的贡献。同时，数学观也是发展的，历史的印记已经足以说明这一点，将来的数学观也将不断的更新和发展；对于个人的数学观也在自我的实践和反思中不断地完善，发展。
二、系统数学观的建构
1、知识+实践+反思+共同体的形式建构数学观
学生学习数学知识是一个主动建构的过程，而对于教师的数学观，由于每位老师的知识背景，教学经验，对数学本质的理解层次的不同；因此，也需要经历一个自我，富有个性的建构过程。从认识论的角度来看，建构主义的主要观点就是：学习并非是对所授予知识的被动接受，而是一个以其已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，也就是说建构主义突出强调主体在认识活动中的能动作用。知识+实践+反思的形式是很好促进个人数学观的建构的。首先，是对数学观知识的学习和了解，将其纳入到教师的专业知识结构当中去，作为教师专业成长的一个重要组成部分。知其然，知其所以然。接着就是关键的做数学的过程；从本质上，体验、实践、感悟自我的数学观，实践和反思的交互进行将使更加健全自我的数学观。
从社会建构主义观点看，数学被看作是人类的一项创造性的活动。该活动就应由事实性结论、问题、语言、方法、数学研究的一些主体对象等内容组成。这些主体对象就成为共同体，那么他们对数学观认识形成的一致或不一致的看法。作为数学共同体的交流和讨论，将极大地促进对数学观地系统建构。
2、多元的数学观带来的多样的启发
我们应该辨证地看待每种数学观，对于任何一种的数学观，既有对教育教学促进的一面，同时也存在消极的一面。我们更多地讨论的使某种数学观积极的一面对课堂教学的促进作用，更多地减少它地消极影响。数学的教学是个复杂的系统，它受学习材料，学生对象，学习情景，教师的数学观，师生的心理和情绪等诸多方面的影响；就需要教师灵活地运用某种数学观的积极面来因材施教，因地制宜。另一个目的是，让学生体验多种的学习方式，包括：理解接受、自主探究与合作交流等。具有的是动态的、易谬主义的数学观的老师，他在教学过程中就会大力提倡学生的参与，包括问题解决、合作学习、批判性讨论等，让学生经历数学知识的再发现、再创造的数学活动，学生通过猜测、发现、验证、交流等活动，不断修正对知识的已有认识，学生以主动积极的状态参与数学的学习；与静态的、绝对主义的数学观比较，显得更加人性化。但是动态的、易谬主义的数学观花时比较多，对教师对课堂生成的把握要求比较高，一般比较适合于单元起始课，概念课的初步认识，对数学模型探究课的教学。
形式主义的数学观，教师无疑更加强调顺序概念间的内在联系，将数学的各个部分进行联系，以形成一个高度统一和十分严密的结构系统；对知识的教学是放在一个大的知识背景下进行讨论和学习，更易于知识间的联系和迁移。现在小学教师中大部分是属于这种类型的数学观，原因其一是这样更容易把握对数学课堂的教学，其二是现在应试教育影响所导致的结果。学生所采用的学习方式是讨论交流和理解接受的学习。但形式主义的数学观指导下的教学，一般是学生在教师的引导和组织下进行学习的，把数学知识当作一种纯客观的真理，缺乏主动性与创新性。一般适合于文本解读式，知识结构图复习整理课，知识讲授环节等教学。
工具主义的数学观的教学，教师认为数学就是概念、定理、公式、法则、记忆、练习等，学习数学就是为了解决数学题，为了应付生活中的某些演算；采用知识的灌输、教师的示范，学生职责就是记忆和模仿，缺乏了知识的再生性，缺乏了知识间的联系性。工具主义的数学观下的教学会使数学变得艰深难懂、枯燥无味，从而导致学生回避数学、害怕数学、不愿接触数学的情绪反应。但是，它也有它的积极面；对于一些最重要的与必背的数学公式、定理和法则，必须要熟练地记忆，当然是在理解的前提下；在解题时，达到信手拈来的自动化程度，所谓工欲善其事，必先利其器。
3、建构数学观的结构
不同的历史阶段强调和发展某种数学观，这是对数学本质的不断认识和数学发展所决定的。作为小学数学教师如何取舍这些不同历史阶段或不同流派的数学观呢？我认为应强调某种数学观的主调作用，其他的数学观为辅，以达到主次的平衡。按照自己对数学的认识和理解，将社会建构主义的数学观，拟经验的数学观，问题解决的数学观作为核心的数学观，或者某两种数学观的结合点作为主要的数学观，将其他的数学观作为次要的。从数学观的角度来分析，老师精心设计的课是以社会建构主义数学观和问题解决式地数学观为主的，倡导数学是学生再创造，知识再建构的一个活动；而对于家常课和练习课，更多的是多元数学观的交错和融合，如何在这样的课中把握和渗透多元的数学观，主要依仗的是教师的教学功力和对数学观的实践和理解。如果把握不够，就很容易将一种数学观进行强调或突显，从而走上了一个极端。
数学教师必须更新数学观念，深入认识数学本质和历史演进过程，不仅有科学的数学观，还应从数学哲学层面形成数学文化观念、数学价值观念和数学应用观念，逐步从静态的、形而上学的、绝对主义数学观转向到动态的、多元的、发展的辩证数学观。
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(一)创设情境导入新课
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢?
设计目的：能聚拢学生的思维为新课的开展创造了良好的教学氛围。
(二)合作交流探究新知
(活动一)探究角平分仪的原理。具体过程如下：
播放美访问我国的录像资料------引出雨伞-----观察它的截面图，使学生认清其中的边角关系-----引出角平分线;并且运用几何画板对伞的开合进行动态演示，让学生直观感受伞面形成的角与主杆的关系-----让学生设计制作角平分仪;并利用以前所学的知识寻找理论上的依据，说明这个仪器的制作原理。
设计目的：用生活中的实例感知。以最近大事作引入点，以最常见的事物为载体，让学生感受到生活中处处都有数学，认识到数学的价值。其中设计制作角平分仪，可培养学生的创造力和成就感以及学习数学的兴趣。使学生很轻松的完成活动二。
(活动二)通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法.自己动手做做看.然后与同伴交流操作心得.
分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性。
讨论结果展示：教师根据学生的叙述，利用多媒体课件演示作已知角的平分线的方法：
已知：∠AO B.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
(1)以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N.
(2)分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)作射线OC，射线OC即为所求.
设计目的：使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣。
议一议：
1.在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗?
2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗?
设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯。
学生讨论结果总结：
1.去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线.
2.若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.
3.角的平分线是一条射线.它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可.
4.这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.
(活动三)探究角平分线的性质
思考：已知一角及其角平分线添加辅助线构成全等三角形;构成全等的直角三角形。这样的三角形有多少对?
这样设计的目的是加深对全等的认识。
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7月8日至7月11日去宁波大学参加了“以深度学习为指导的初中数学习题教学与设计”培训活动，感受颇多。
本次培训在3月份已经报名，在负责人解老师第一次发短信确定是否参加培训时，我是打了退堂鼓的，担心疫情，不敢参加，但是我老公告诉我疫情形势还可以，你去去没问题的，然后我才再次确定参加的，再加上从嘉善去宁波路程遥远，我们中午才到，以致于解老师一口叫出我和蒋老师的姓名，我是很惊喜的。通过后面的听课，心里暗自庆幸幸亏过来了，真是不虚此行！
第一堂课是宁波市名师、鄞州区曙光中学教研组长章剑雄老师的课，看着名字以为是一位高大的男老师，结果居然是一位瘦弱的女老师，小小地惊讶了一下，通过听章老师的讲座发现章老师瘦弱的身材却聚集着庞大的能量，她的几何直观教学策略完美地诠释了几何直观的内涵以及“数形结合百般好”。听了章老师的课我才发现原来有些几何图形的题目不用复杂的计算单凭图形的剪拼就可以快捷得出答案，这对于计算困难的同学来说是一场及时雨。很多时候，学生会列式，但很难算对，图形的计算往往都很复杂若是单凭图形变换就能得出结果将大大减少学生的计算量，从而提高正确率。还有很多代数题从代数的角度很难解决或者比较麻烦，若是能够画出与之相对应的图形，则可以事半功倍！虽然我们平时也在用数形结合，但是章老师用的是炉火纯青，我们自愧不如！哎，得抓紧修炼呀！
第二堂课是浙江省特级教师、宁波市鄞州区初中数学教研员潘小梅老师的《解题教学的思考与实践》。潘老师的第一句话就指明数学教学以及学习的核心：掌握数学就意味着善于解题。然后灵魂拷问：这三句话每个数学老师都应该牢记，你们会背吗？（会用数学眼光观察现实世界、会用数学思想思考现实世界、会用数学眼光表达现实世界）我暗暗汗颜┅┅潘老师以具体的题目来一点点给我们展示思维如何变无限为有限，如何找到问题的突破口等等。然后潘老师还给我们展示了她这一年来关于解题教学的尝试：从中考复习解题教学到基本图形的教学，再到中考数学压轴题，最后是学生说题。每一块内容都讲得非常详细，对于培训的我们来说是满满的收获！
后面的课我就不一一赘述了，总之每个老师的课都很接地气，很实用，干货满满，期间解老师还安排李小红老师给我们来了一场《向易经借智慧》的讲座，李老师用诙谐幽默的话语给我们带来了一场艺术的盛宴，最后以黄伟健老师的《不仅仅只是解题》的讲座完美收官。黄老师是最接地气的一位老师，他一直致力于如何让不会做题的人也能得分的研究，也给予我很多启示。
在本次培训中，不仅上课的老师让我们感到不虚此行，本次培训负责接待和安排的解老师也让我们非常感动，一切事宜都考虑的非常周到，我们的吃、住、学都很舒适，感谢本次上课的所有老师以及解老师，谢谢你们！
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为了提高学生的学习兴趣，增大学生的学习参与面,减小差距。努力作好教学工作,在这一学期中，下文将准备了初中二年级下册数学教学设计如下：
一、教学目标:
通过本期的学习，要使学生在情感与态度上，认识到数学来源于实践，又反作用于实践，认识现实生活中图形间的数量关系，能够设计精美的图案，提高学生的审美情趣，培养学生实事求是、严肃认真的学习态度，激发学生的学习兴趣，培养学生对数学的热爱，对生活的热爱，在民主、和谐、合作、探究、有序、分享发现快乐，感受学习的快乐。对于过程与方法，通过学生积极参与对知识的探究，经历发现知识，发现知识间的内在联系，让学生经历发现知识道路上坎坎坷坷，达到深刻理解掌握知识的目的，达到漫江碧透，鱼翔浅底的境界，在经历这些活动中，提高学生的动手实践能力，提高学生的逻辑推理能力与逻辑思维能力，自主探究，解决问题的能力，提高运算能力，使所有学生在数学上都有不同的发展，尽可能接近其发展的最大值，培养学生良好的学习习惯，发展学生的非智力因素，使学生潜移默化的接受辩证唯物主义的熏陶，提高学生素质。
二、教材分析
本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下:
第十六章 分式 本章的主要内容包括:分式的概念，分式的基本性质，分式的约分与通分，分式的加、减、乘、除运算，整数指数幂的概念及运算性质，分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。
第十七章 反比例函数 函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，本单元学生在学习了一次函数后，进一步研究反比例函数。学生在本章中经历:反比例函数概念的抽象概括过程，体会建立数学模型的思想，进一步发展学生的抽象思维能力;经历反比例函数的图象及其性质的探索过程，在交流中发展能力这是本章的重点之一;经历本章的重点之二:利用反比例函数及图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力;经历函数图象信息的识别应用过程，发展学生形象思维;能根据所给信息确定反比例函数表达式，会作反比例函数图象，并利用它们解决简单的实际问题。本章的难点在于对学生抽象思维的培养，以及提高数形结合的意识和能力。
第十八章 勾股定理 直角三角形是一种特殊的`三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半，本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理。
第十九章 四边形 四边形是人们日常生活中应用较广泛的一种图形，尤其是平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的用处更多。因此，四边形既是几何中的基本图形，也是空间与图形领域研究的主要对象之一。本章是在学生前面学段已经学过的四边形知识、本学段学过的多边形、平行线、三角形的有关知识的基础上来学习的，也可以说是在已有知识的基础上做进一步系统的整理和研究，本章内容的学习也反复运用了平行线和三角形的知识。从这个角度来看，本章的内容也是前面平行线和三角形等内容的应用和深化。
第二十章 数据的分析 本章主要研究平均数、中位数、众数以及极差、方差等统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。
三、提高学科教育质量的主要措施:
1、认真做好教学七认真工作。把教学七认真作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。
2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史，介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。
3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写复习提纲，使知识来源于学生的构造。
4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维，让学生处于一种思如泉涌的状态。
5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育理念将带来不同的教育效果。
6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说:教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。
7、指导成立课外兴趣小组的民间组织，开展丰富多彩的课外活动，开展对奥数题的研究，课外调查，操作实践，带动班级学生学习数学，同时发展这一部分学生的特长。
8、开展分层教学，布置作业设置A、B、C三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生，课堂上的提问要照顾好、中、差三类学生，使他们都等到发展。
9、进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差生过关，为差生以后的发展铺平道路。
10、站在系统的高度，使知识构筑在一个系统，上升到哲学的高度，八方联系，浑然一体，使学生学得轻松，记得牢固。
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随着科学技术的发展，教育资源和教育需求也随之增长和变化。我校进行了初中数学分层教学课题研究，而分层次备课是搞好分层教学的关键，教师应在吃透教材、大纲的情况下，按照不同层次学生的实际情况，设计好分层次教学的全过程。本文将结合本人的教学经验，对分层教学教案设计进行初步探讨。
1教学目标的制定
制定具体可行的教学目标，先要分清哪些属于共同目标，哪些属于层次目标。并在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个方面对不同层次的学生制定具体的要求。
2教法学法的制定
制定教法学法应结合各层次学生的具体情况而定，如对A层学生少讲多练，注重培养其自学能力;对B层学生，则实行精讲精练，注重课本上的例题和习题的处理;对C层学生则要求要低，浅讲多练，弄懂基本概念，掌握必要的基础知识和基本技能。
3教学重难点的制定
教学重难点的制定也应结合各层次学生的具体情况而定。
4教学过程的设计
4.1情境导向，分层定标。教师以实例演示、设问等多种方法导入新课。要利用各种教学资料创设恰当的学习情境为各层学生呈现适合于本层学生水平学习的内容。
4.2分层练习，探讨生疑。学生对照各自的目标分层自学。教师要鼓励学生主动实践，自觉地去发现问题、探讨问题、解决问题。
4.3集体回授，异步释疑。“集体回授”主要是针对人数占优势的B层学生，为解决具有共性的问题而组织的一种集体教学活动。教师为那些来不及解决的、不具有共性的问题分先后在层内释疑即“异步释疑”。
5练习与作业的设计
教师在设计练习或布置作业时要遵循“两部三层”的原则。“两部”是指练习或作业分为必做题和选做题两部分;“三层”是指教师在处理练习时要具有三个层次：第一层次为知识的直接运用和基础练习;第二、三两层次的题目为选做题，这样可使A层学生有练习的机会，B、C两层学生也有充分发展的余地。
分层教学下教师不能再“拿一个教案用到底”，而要精心地设计课堂教学活动，针对不同层次的学生选择恰当的方法和手段，了解学生的实际需求，关心他们的进步，改革课堂教学模式，充分调动学生的学习主动性，创造良好的课堂教学氛围，形成成功的激励机制，确保每一个学生都有所进步。
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摘 要：本着对课堂练习分层教学设计的要求与目的，本节课设计了三个层次。针对学困生的特殊情况，课堂练习通过诵读定理和抄写例题来使其加深印象；在巩固练习中中等生要求书面写出步骤并进行展示；对于优等生在快结束本节课时抛出变式让他们进行思考，并交流思路。这三个层次都贯穿于整个课堂教学，使每位学生上课都有事可做，根据自己的能力来解决能力范围内的问题。
关键词：相切；环节说明；分层体现；
一、案例背景介绍
（一）教学环境
在我们着手进行课题《初中数学分层教学方式与策略研究》的研究开始后，大家齐心协力探索、研究方法，组内各种分层招数可谓是百花齐放，为此我代表课题组上了一节分层教学的展示课，以供同仁观摩点评，为促进数学教学的分层设计向更好的方向前行作贡献。
（二）学生情况
我校学生大部分来自韩庄镇不同的自然村，由于小学地域的不同，所以学生的基础各不相同，很多学生的基础还相当薄弱。因此这种情况特别适合分层教学。
（三）教材情况
本课是人教版初三数学上册第24章圆第2节点和圆、直线和圆的位置关系中的一个课时：直线和圆相切的情况。学生已经有了点和圆的位置关系的基础以及直线和圆的位置关系的数量的认识，本节课研究直线与圆的特殊位置关系相切，将相切从位置到数量的逻辑自然过渡，进而引出圆的切线的判定和性质。重点是圆的切线的判定定理和性质定理。难点是判定定理的理解和性质定理证明中反证法的理解。
二、案例内容设计及说明
环节一：复习引入
通过回顾旧知再次加深圆与直线的位置关系，在全班集体朗读中体会d与r的关系，并顺势将位置关系量化这一问题显化，同时自然引出特殊情况――相切
环节说明：俗话说书读百遍，其意自现。数学概念在朗读中更能逐渐理解其本质，因此不光语文需要朗读，数学也要朗读。而且针对我班学困生上课听不懂，不会做的现象，这样来设计复习方式更能调动我班学生学习的动力，让每位学生都参与到课堂教学中来。这也是这个环节分层的体现。
环节二：新知探究
活动
1、引导学生从直线与圆相切的位置及数量关系上来深入探究，通过动态演示来理解一条直线何时变成圆的切线。
环节说明：上节课得到的圆与直线相切是数量上的关系，通过动态的演示让学生明确位置的变化，从而总结出切线的判定。但是引导很重要，从两个方面去观察：直线经过哪里？与圆的半径有什么位置关系？需要老师点拨。并要等待学生来总结，不能操之过急。分层体现1对观察的结果分别让两位程度较差的学生回答，再让中等程度的学生来总结；体现2对定理的数学表达让全体学生写在练习本上，老师选择展示，并修改；体现3对总结出的判定进行朗读。
活动
2、将判定的题设和结论互换后的探究。
环节说明：反证法在过三点做圆时已有所涉及，所以在这里用反证法证明切线的性质时让学生互相交流讨论然后进行汇报就行，不要进行过多的引申，否则淡化了主题。分层体现1讨论交流时采取师傅和徒弟在同一组，师傅负责解释证明的方法；体现2数学语言的书写让学生自己写并派代表写在黑板上。
环节三：巩固和应用
通过判断题加深对切线的判定和性质的理解。通过师生共同分析解决几何解答证明题，并由学生书写证明步骤。
环节说明：判断题中设置了3道小题，并给出了反例，能使学生更加明确定理的意义。这里教学的分层体现在针对反例来问学困生为什么不对，让学生说出违背了所需条件的哪一条，强化切线判定条件在这部分学生头脑中的印象。例题的分析采取了小组讨论交流的方法，与环节二中的分组一样，分层体现在“师带徒”弄清解题思路，师傅增强了解题的逻辑性，更严密，徒弟学会了解题的分析，拓宽了视野，打开了思路。在有思路的前提下，全班安静书写步骤。还可以展示在投影下，由学生来评判书写的是否清楚。
环节四：课堂小结
在小结中，除了总结出本节课所学的判定和性质外，将相关的判定和性质做一归纳很有必要，“在不断的总结中收获、进步”不是吗？同时提出下节课要学习的相关性质更能激起学生学习的积极性。
环节说明：在小结的分层中判定由程度稍差点的学生总结，哪怕照着书上找都行，并进行诵读，使其再次熟知所学知识。在性质的总结中，老师抛出两条本节未涉及的性质给学生，让学生课后思考证明，在下节课时可由学生简要发表见解并证明。
环节五：拓展练习
通过引导学生添加辅助线，点拨学生圆中常用辅助线的做法，分情况添加恰当的辅助线。这两个练习旨在拓展尖子生的思维。
环节六：作业布置
通过分层布置，使每位学生都能在自己能力范围内进行巩固练习。
环节说明：作业
1、重点面向学困生考察其掌握基础的程度。作业
2、针对待优生夯实基础的基础上，提高其运用能力。作业
3、是设计的培优计划，对学有余力的学生来说是个很好的锻炼机会。
三、案例分析与反思
实际上本节课中圆的切线的判定定理是为了便于应用而对直线和圆相切的定义改写得到的一种形式，而圆的切线的性质定理的证明仅仅要求学生再次感受反证法，并不要求会应用，所以本节的设计在分层中很注重理解和感知，通过互帮互助和朗读感知达到难点的突破，另外圆是学生学习的第一个曲线形，由直线形到曲线形，在知识上是一个飞跃，本节利用图形运动变化过程发现其中图形的性质，做好了知识前后的衔接，同时加强了新旧知识的联系，发挥出了知识的迁移作用。类比也是本节课所用到的一个重要的学习方法，而且在教授过程中难度的控制非常适当，分层的影子处处可见。纵观整节课的分层之处进入都很自然，也落到了实处，但分层效果的检测没有体现出来，这也是遗憾之处。
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教学目标
1、知识与技能：
（1）理解一元一次不等式组及其解集的意义；
（2）掌握一元一次不等式组的解法。
2、过程与方法：
（1）经历通过具体问题抽象出不等式组的过程，培养学生逐步形成分析问题和解决问题的能力。
（2）经历一元一次不等式组解集的探究过程，培养学生的观察能力和数形结合的思想方法，渗透类比和化归思想。
3、情感、态度与价值观：
（1）感受数形结合思想在数学学习中的作用，养成自主探究的良好学习习惯。
（2）学生在解不等式组的过程中体会用数学解决问题的直观美和简洁美。
2学情分析
本节讨论的对象是一元一次不等式组。几个一元一次不等式合在一起，就得到一元一次不等式组。从组成成员上看，一元一次不等式组是在一元一次不等式基础上发展的新概念；从组成形式上看，一元一次不等式组与第八章学习的方程组有类似之处，都是同时满足几个数量关系，所求的都是集合不等式解集的公共部分或几个方程的公共解。因此，在本节教学中应注意前面的基础，让学生借助对已学知识的认识学习新知识。
另外，本节课是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式之后的又一次数学建模思想学习，是今后利用一元一次不等式组解决实际问题的关键，是后续学习一元二次方程、函数的重要基础，具有承前启后的重要作用。另外，在整个学习过程中数轴起着不可替代的作用，处处渗透着数形结合的思想,这种数形结合的思想对学生今后学习数学有着重要的影响。
3重点难点
1、教学重点：对一元一次不等式组解集的认识及其解法。
2、教学难点：对一元一次不等式组解集的认识及确定。
3、教学关键：利用数轴确定不等式组中各个不等式解集的公共部分。
4教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】温故知新
教师提问：
1、什么是一元一次不等式？
2、什么是一元一次不等式的解集？
3、如何求一元一次不等式的解集？
针对性练习：
（设计意图：检验学生是否理解和掌握一元一次不等式的相关概念，为本节新课内容的学习做好铺垫。同时对解不等式中的相关要点加以强调：①解不等式中，系数化为1时不等号的方向是否要改变；②在数轴上表示解集时“实心圆点”和“空心圆圈”的选择；③要正确理解利用数轴表示出来的不等式解集的几何意义。）
活动2【讲授】创设问题情景,探索新知
1、问题（课本第127页）：用每分钟可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存的污水
超过1 200 t而不足1 500 t，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？
（设计意图：结合生活实例，让学生经历通过具体问题抽象出不等式组的过程，即经历知识的拓展过程，让学生体会到数学学习的内容是现实的、有意义的、富有挑战性的。）
2、引导学生找出问题中“积存的污水”需同时满足的两个不等关系：
超过1 200 t和不足1 500 t。
3、问题1：如何用数学式子表示这两个不等关系？
1）引导学生一起把这个实际问题转换为数学模型：
满足一个不等关系我们可列一个不等式，满足两个不等关系可以列出两个不等式。
设用x min将污水抽完，则x需同时满足以下两个不等式：
30x>1200， ①
30x<1500 ②
2)教师归纳一元一次不等式组的意义：
由于未知数x需同时满足上述两个不等式，那么类似于方程组，我们把这样两个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组。
（设计意图：把实际问题转换为数学模型，同时让学生根据一元一次不等式和二元一次方程组的有关概念来类推一元一次不等式组的有关概念，渗透类比和化归思想。）
4、问题2：怎样确定不等式组中既满足不等式①同时又满足不等式②的x的可取值范围？
1）教师分析：对于一元一次不等式组来说，组成不等式组的每一个不等式中都只含有一个未知数，
运用前面解一元一次不等式的知识，我们就能直接求出不等式组中的每一个一元一次不等式的解集。
2）得到解不等式组的第一个步骤：分别直接求出这两个不等式的解集。学生自行求解：
由不等式①，解得x>40
由不等式②，解得x<50
3）教师引导学生根据题意，容易得到：在这两个解集中，由于未知数x既要满足x>40，也要同时满足x<50，因此x>40和x<50这两个解集的公共部分，就是不等式组中x可以取值的范围。
（设计意图：让学生在教师的引导下探究不等式组的解集及其解法，养成自主探究的良好学习习惯。）
5、问题3：如何求得这两个解集的公共部分？
学生活动：将不等式①和②的解集在同一条数轴上分别表示出来。
（设计意图：启发学生可利用数轴的直观性帮助我们寻找这两个不等式解集的公共部分。）
教师活动：利用多媒体课件，用三种不同形式表示这两个解集，帮助学生求得这个公共部分。
（设计意图：结合介绍利用数轴确定公共部分的三种不同形式，突破本节课的难点，培养学生的观察能力和数形结合的思想方法。）
形式一：用两种不同颜色表示这两个解集
1）通过设置以下几个问题，要求学生通过观察、分组讨论、取值验证，自主得出结论。
（1）这两种颜色把数轴分成几个部分？
（2）每一个部分分别表示哪些数？
（3) 请每一小组的同学从这几个部分中各取2~3个数，分别代入两个不等式中，同时思考：哪部分的数既满足不等式①同时又满足不等式②？
2）学生通过自主探究、合作交流，得到这3个问题的正确答案。
3）得出结论：
只有红色和蓝色重叠的部分才既满足不等式①又同时满足不等式②。因此，红色和蓝色重叠的部分就是我们要找的x的可取值范围。
4）教师提问：两个不等式解集的界点：即实数40、50所在的点是否落在红色和蓝色重叠的部分？教师引导学生利用学过的验证法进行验证，并得出结论：两个界点没有落在红色和蓝色重叠的部分。
（设计意图：让学生对一系列的问题进行自主分析和解答，充分调动学生学习的主动性和积极性。同时在上述过程中，利用不同颜色的直观性，目的在于能让学生更清楚地找出不等式①和不等式②解集的公共部分。）
形式二：利用画斜线的方式：用两种不同方向的斜线分别画出x>40和x<50这两个部分的解集。
类似地，引导学生得出结论：两个解集的公共部分，就是图中两种不同方向斜线重叠的部分，从而得出结论。
形式三：结合课本，利用两条横线都经过的部分来确定两个解集的公共部分。
（设计意图：介绍不同的形式，让学生再一次鲜明、直观地体会：x的可取值范围是两个不等式解集的公共部分；进一步培养学生的观察能力和数形结合的思想方法。）
6、问题4：如何表示这个可取值范围？
教师分析：在数轴上，未知数x落在实数40和50之间。而我们知道，数轴上的实数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序。因此，我们可将这三个数先按从小到大的顺序书写出来，再用小于号依次进行连接，记为40
7、小结并解决课本问题：原不等式组中x的取值范围为40 （设计意图：首尾呼应，完成了实际问题的研究，通过这个研究过程，让学生进行感悟、归纳、领会知识的真谛。） 8、同时，类比一元一次不等式解集的几何意义，教师再次进行归纳： 在数轴上，若在40 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。解不等式组就是求它的解集。 9、结合上述学习过程，让学生和教师一起归纳解一元一次不等式组的步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）把这些解集分别在同一条数轴上表示出来； （3）确定各个不等式解集的公共部分； （4）写出不等式组的解集。 （设计意图：及时进行小结，使学生对所学知识更加的系统化。） 课题：12.3等腰三角形（第一课时） 教学内容：新人教版八年级上册十二章第三节等腰三角形的第一课时 任课教师：东湾中学李晓伟 设计理念： 教学的实质是以教材中提供的素材或实际生活中的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、数形结合和方程的思想方法，达到学生知识的构建、能力的培养、情感的陶冶、意识的创新。 ㈠教材的地位和作用分析 等腰三角形是新人教版八年级上册十二章第三节等腰三角形的第一课时的内容。本节课是在前面学习了三角形的有关概念及性质、轴对称变换、全等三角形、垂直平分线和尺规作图的基础上，研究等腰三角形的定义及其重要性质，它既是前面所学知识的延伸，也是后面直角三角形、等边三角形的知识的重要储备，我们常常利用它证明角相等、线段相等、两直线垂直，因此本节课具有承上启下的重要作用。 另外，本堂课通过“活动探究”、“观察—猜想—证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，本堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。 ㈡教学内容的分析 本堂课是等腰三角形的第一堂课，在认识等腰三角形的基础上着重介绍“等腰三角形的性质”。在教学设计的过程中，通过展示我国今年举办的精彩绝伦的盛会—上海世博会图片中的等腰三角形，结合云南丰富的文化资源，让学生感知生活中处处有数学，感受图形的和谐美、对称美；通过学生感兴趣的数学情景引入等腰三角形定义，提高学生的学习乐趣；让学生通过动手剪等腰三角形、对折等腰三角形等活动，探究发现等腰三角形的性质，经历知识的“再发现”过程。在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。在发现等腰三角形的性质的基础上，再经过推理证明等腰三角形的性质，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延伸，有机地将等腰三角形的认识与等腰三角形的性质的证明结合起来，从中发展学生推理能力。 在例题的选取上，注重联系实际，激发学生学习兴趣，让学生主动用数学知识解决实际问题，同时渗透分类讨论、数形结合和方程的数学思想方法，让学生形成自我的数学思维和能力，发展学生应用数学的意识。 二、目标及其解析 ㈠教学目标： 知识技能： 1．了解等腰三角形的概念，认识等腰三角形是轴对称图形；2．经历探究等腰三角形性质的过程，理解等腰三角形的性质的证明； 3．掌握等腰三角形的性质，能运用等腰三角形的性质解决生活中简单的实际问题。 数学思考： 1．经历“观察?实验?猜想?论证”的过程，发展学生几何直观； 2．经历证明等腰三角形的性质的过程，体会证明的必要性，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力. 解决问题： 1．能运用等腰三角形的性质解决生活中的实际问题，发展数学的应用能力，获得解决问题的经验； 2．在小组活动和探究过程中，学会与人合作，体会与他人合作的重要性. 情感态度： 1.经历“观察?实验?猜想?论证”的过程，体验数学活动充满着探究性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性，并有克服困难和运用知识解决问题的成功体验，建立学好数学的自信心； 2.经历运用等腰三角形解决实际问题的过程，认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用； 3.在独立思考的基础上，通过小组合作，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，在交流中获益. ㈡教学重点： 等腰三角形的性质及应用。 ㈢教学难点： 等腰三角形性质的证明。 ㈣解析 本堂课是等腰三角形的第一堂课，所以对于本堂课的知识目标的定位，主要考虑如下：1．了解等腰三角形的概念，认识等腰三角形是轴对称图形，在本堂课中要达到如下要求：⑴理解等腰三角形的定义，知道等腰三角形的顶角、底角、腰和底边；⑵知道等腰三角形是轴对称图形，它有一条对称轴，即：顶角角平分线（底边上的高或底边上的中线）所在直线； 2．经历探究等腰三角形性质的过程，掌握等腰三角形的性质的证明，在课堂中让学生参与等腰三角形性质的探索，鼓励学生用规范的数学言语表述证明过程，发展学生的数学语言能力和演绎推理能力，引导学生完成对等腰三角形的性质的证明； 3．会利用等腰三角形的性质解决简单的实际问题，本堂课要达到以下要求：掌握等腰三角形的性质，会利用等腰三角形的性质解决简单的实际问题。 三、问题诊断分析 1．在这堂课中，学生可能遇到的第一个困难是等腰三角形性质的发现，特别是等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合这一性质，解决这一问题教师主要借助等腰三角形对称性的研究，并引导学生理解“重合”这个词的涵义。 2．这堂课学生可能遇到的第二个问题是证明等腰三角形的性质，这一问题主要有三个原因：第一学生刚接触几何证明不久，对数学语言表达方式还不熟悉；这一困难，并不是一堂课就能解决的，而要在以后学习中帮助学生增强数学语言运用的能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。在这堂课中我通过等腰三角形性质的证明，鼓励学生运用规范的数学语言来表述，使学生数学语言能力和演绎推理能力得到提升；第二是添加辅助线的问题，这也是学生在证明中的一个难点。要解决这一问题，我借助等腰三角形是轴对称图形，通过研究等腰三角形的对称轴，让学生理解三种添加辅助线的方法，即作顶角角平分线、底边上的高或底边上的中线；第三是证明等腰三角形顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合这一性质，要突破这一难点，我采用先证明等腰三角形两底角相等这一性质，为学生搭一个台阶，更好地解决这个难点。 3．这堂课中学生可能遇到的第三个问题是对等腰三角形的性质的应用，特别是等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合这一性质的应用；所以我在设计 课堂练习时，注重数学知识与生活实际的联系，提高学生数学学习的兴趣，让学生主动运用数学知识解决实际问题，并通过练习渗透分类讨论、数形结合和方程的数学思想方法，让学生形成自我的数学思维和能力，发展学生应用数学的意识。 四、教法、学法： 教法： 常言道：“教必有法，教无定法”。所以我针对八年级学生的心理特点和认知能力水平，大胆应用生活中的素材，并作了精心的安排，充分体现数学是源于实践又运用于生活。因此，本堂课的教学中，我以学生为主体，让学生积极思维，勇于探索，主动地获取知识。同时，采用了现代化教学技术，激发学生的学习兴趣，使整个课堂“活”起来，提高课堂效率。本堂课以生活中的一些例子为中心，让学生亲自尝试，接受问题的挑战，充分展示自己的观点和见解，给学生创设一个宽松愉快的学习氛围，让学生体验成功的快乐，为终身学习和发展打打下坚实的基础。 本堂课的设计是以课程标准和教材为依据，采用发现式教学。遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性。教学过程中，注重学生探究能力的培养。还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维。同时，注意加强对学生的启发和引导，鼓励培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究的思想。 学法： 学生都渴望与他人交流，合作探究可使学生感受到合作的重要和团队的精神力量，增强集体意识，所以本课采用小组合作的学习方式，让学生遵循“情景问题?实践探究?证明结论?解决实际问题”的主线进行学习。让学生从活动中去观察、探索、归纳知识，沿着知识发生，发展的脉络，学生经过自己亲身的实践活动，形成自己的经验，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动构建。这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且能力得到培养，素质得以提高，充分地调动学生学习的热情，让学生学会自主学习，学会探索问题的方法。 五、教学支持条件分析 在本堂课中，准备利用长方形纸片、剪刀、圆规和直尺等工具，剪出等腰三角形，利用等腰三角形，通过对折、多媒体动画演示等方法发现等腰三角形的性质，并且借助多媒体信息技术与实际动手操作加强对所学知识的理解和运用。ZjAN56.CoM 六、教学基本流程 七、教学过程设计 本文来源：https://www.zjan56.com/jiaoxuesheji/158258.html▲ 用字母表示数教学设计动画版 ▼
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